Интегрируемость непрерывных и монотонных функций

Если $f(x)$ - непрерывна на $[a, b]$, то $f(x)$ - интегрируема на $[a, b]$

Возьмём $\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta = \delta_{1}}$. Так как $f(x)$ - равномерно непрерывна, то: $$\forall{ \varepsilon_{1} > 0}~~ \exists{\delta_{1}}\mathpunct{:}~~ |x' - x''| < \delta_{1} \Rightarrow |f(x') - f(x'')| < \varepsilon_{1} = \dfrac{\varepsilon}{b-a}$$ Возьмём $\forall{\tau}\mathpunct{:}~~ \lambda(\tau) < \delta$. Так как $\overline{S}_{\tau} - \underline{S}_{\tau} = \sum\limits_{k=0}^{n-1}(M_{k} - m_{k})\Delta x_{k} ~~(*)$, то по теореме о достижимости точной верхней и нижней грани $\exists{x'_{k}, x''_{k} \in [x_{k}, x_{k+1}]}$ такие, что: $$(*) = \sum_{k=0}^{n-1} (f(x'_{k}) - f(x''_{k})) \Delta x_{k} < \dfrac{\varepsilon}{b-a} \sum_{k=0}^{n-1} \Delta x_{k} = \dfrac{\varepsilon}{b-a}(b-a) = \varepsilon ~~~~~\square$$

Если $f(x)$ - монотонна на $[a, b]$, то $f(x)$ - интегрируема на $[a, b]$

Без ограничения общности скажем, что $f(x)$ - возрастает и $f(a) < f(b)$. Возьмём $\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta = \dfrac{\varepsilon}{f(b) - f(a)}}~~ \forall{ \tau\mathpunct{:}~~}~~ \lambda(\tau) < \delta$, тогда: $$\begin{align} \overline{S}_{\tau} - \underline{S}_{\tau} &= \sum_{k=0}^{n-1} (M_{k} - m_{k})\Delta x_{k} = \sum_{k=0}^{n-1} (f(x_{k+1}) - f(x_{k}))\Delta x_{k} \\ &\leq \lambda(\tau) \sum_{k=0}^{n-1} (f(x_{k+1}) - f(x_{k})) < \delta(f(b) - f(a)) = \varepsilon \end{align}$$ $\square$